ตรรกศาสตร์

 สรุปเนื้อหาสาระเรื่องตรรกศาสตร์ วิชาคณิตศาตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

1. ประพจน์ คือประโยคหรือข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น ซึ่งประโยคหรือข้อความดังกล่าวจะอยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ ในตรรกศาสตร์เรียกการเป็น “จริง” หรือ  “เท็จ” ของแต่ละประพจน์ว่า “ค่าความจริงประพจน์”

2. ให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ เมื่อเชื่อมด้วยตัวเชื่อม “และ” (Ù) “หรือ” (Ú ) “ถ้า...แล้ว...” ( → ) และ “ก็ต่อเมื่อ” (↔) จะมีข้อตกลงใหม่เกี่ยวกับค่าความจริงของประพจน์ที่ได้จากการเชื่อมประพจน์  p และ q โดยให้ T และ F แทนจริงและเท็จตามลำดับ ดังนี้

p	q	p Ù q	p v q	p ® q	p ↔ q
T	T	T	T	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	F	T	T	F
F	F	F	F	T	T

ถ้า p เป็นประพจน์ใดๆ แล้ว นิเสธ ของ p เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  ~ p และเขียนตารางค่าความจริง  ~ p ได้ดังนี้

p	q
T	F
F	T

3.ให้ p,q และr เป็นประพจน์ ซึ่งยังไม่กำหนดค่าความจริง จะเรียก p,q และ r ว่าเป็นตัวแปรแทนประพจน์ใดๆ และเรียกประพจน์ที่มีตัวเชื่อม เช่น  ~ p, p Ù q , p v q , p®q , p↔q ว่า “รูปแบบของประพจน์”

4.ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี แล้วจะสามารถนำไปใช้แทนกันได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดังกล่าวว่าเป็น รูปแบบขอลประพจน์ที่สมมูลกันทรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบมีดังนี้

                                          p     ≡       ~ (~ p)

                                   p Ù q      ≡        q  Ù  p

                                   p Ú q      ≡         q Ú p

                            ~ ( p  Ù  q)      ≡        ~  p  Ú  ~ q

                            ~ ( p  Ú  q)      ≡         ~ p  Ù  ~ q  

                                 p ® q       ≡        ~  p  v   q

                                 p ® q       ≡        ~ q ® ~ p

                                  p ↔ q      ≡        ( p ® q ) Ù ( q ®  p )

                            p  Ù  ( q Ú r )   ≡         ( p Ù q )   Ú  ( p Ù r )

                            p  Ú ( q Ù r )     ≡           ( p  Ú  q) Ù ( p Ú r )

5. รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่า สัจนิรันดร์

6. การอ้างเหตุผลคือ การอ้างว่า เมื่อมีประพจน์ p₁,p₂,…,p_n ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปประพจน์ C ประพจน์หนึ่งได้ การอ้างเหตุผลประกอบด้วยส่วนสำคัญสองส่วนคือ เหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้ ได้แก่ ประพจน์ p₁, p₂,…, p_n  และผลหรือข้อสรุป คือ ประพจน์ C โดยใช้ตัวเชื่อม Ù เชื่อมเหตุทั้งหมดเข้าด้วยกัน และใช้ตัวเชื่อม ® เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกับผลดังนี้

(p₁ Ù p₂  Ù … Ù p_n  ) ® C

จะกล่าวว่า การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล เมื่อรูปแบบของประพจน์

 (p₁ Ù p₂  Ù … Ù p_n  ) ® C  เป็นสัจนิรันดร์

7. ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยชน์ปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์

8. เรียก “สำหรับ...ทุกตัว” และ “สำหรับ...บางตัว” ว่า ตัวบ่งปริมาณ แทนด้วยสัญลักษณ์ " และ $ ตามลำดับโดยใช้สัญลักษณ์

"x  แทน สำหรับ x ทุกตัว

$x  แทน สำหรับ x ทุกตัว

ถ้า P(x) เป็นประโยชน์เปิดที่มี x  เป็นตัวแปร ค่าความจริงของ P(x) ที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว เป็นดังนี้

"x[P(x)]    มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก     แต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด

"x[P(x)]    มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก     อย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

$x[P(x)]    มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก     อย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

$x[P(x)]    มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก     แต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด